Антон родился 30 ноября 1989 года в Бузулуке, в этом году ему бы исполнилось 34 года. В 2007-м молодой человек окончил школу, а в 2012 — Военную академию войсковой противовоздушной обороны имени Маршала Советского Союза Василевского в Смоленске.
Зимой 2014 года участвовал в операции по присоединению Крыма к России. За это получил медаль «За Возвращение Крыма».
В 2020 году был миротворцем в ходе военного конфликта между Арменией и Азербайджаном в Нагорном Карабахе. Летом 2022 года его направили на СВО, в ходе которой опытный боец проявил отвагу и был удостоен награды «Орден Мужества», а в декабре вернулся домой и продолжил нести службу.
Второй раз в зону спецоперации он отправился в мае 2023 года. Но дата 23 июня стала для него фатальной. В этот день ВСУ атаковали российских солдат ракетными ударами. Бузулучанин отражал удары противника, выводил раненых товарищей из-под ракетного удара и оказывал им медпомощь.
— Антон Сергеевич сражался до последнего, до победного вел боевую работу и отражал атаки противника, героически погиб, спасая своих товарищей, — сообщает пресс-служба Бузулука.
Майор войск противовоздушной обороны Антон Сергеевич Щербовских представлен к награде «Герой России» посмертно. Дома у него остались жена, двое сыновей и родители.