В 2003 году Зверев закончил юридический факультет Оренбургского государственного аграрного университета. С 2003 по 2007 работал следователем прокуратуры Адамовского района и старшим следователем отдела по расследованию особо важных дел прокуратуры Оренбургской области.
В 2007 году поступил на службу в органы Следственного комитета РФ на должность руководителя Ясненского межрайонного следственного отдела. С 2009 по 2020 годы Андрей Зверев возглавлял межрайонный следственный отдел.
С лета 2020 до сегодняшнего назначения подполковник юстиции Зверев замещал должность руководителя второго отдела по расследованию особо важных дел. В отделе занимаются преступлениями против государственной власти, а также экономическими преступлениями.