Алексей Васильевич Агапов родился 30 марта 1924 года в поселке Караган Воронежской области. После 9 класса общеобразовательной школы в 1942 году был призван на службу в армию, окончил танковое училище. В 1944 году ушел на фронт в бронетанковые войска.
Участвовал в Ясско-Кишинёвской операции, где получил ранение и попал в Кишиневский госпиталь. Затем молодого офицера направили в резерв офицерского состава 2-го Украинского фронта. В апреле 1945 года боец Агапов принимал участие в боях за Вену, при взятии города был ранен. Там же встретил Победу.
Вернулся с войны Алексей Агапов в звании подполковника. Награжден орденами Великой Отечественной войны II степени, «Красной звезды», Отечественной войны I степени, медалями «За оборону Москвы», «За победу над фашистской Германией», «За отвагу». Позднее был отмечен орденами Трудовой славы II и III степени.